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$\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$ 需要注意的是,此公式具有收敛半径 $$R=1$$ ,仅适用于 $x\approx 0$ 的情况.

帕德逼近(※)

以下是维基百科给出的简介,这里不加赘述.

总之,一般在主对角线[n,n]上(或附近)的帕德逼近比较精确. [1, 1] 阶:

\ln(1+x) \approx \frac{x + \frac{1}{2}x^2}{1 + x} \quad \text{或者更常用的形式：} \quad \frac{2x}{x+2}

(注： $\frac{2x}{x+2}$ 实际上是 $\ln(\frac{1+y}{1-y})$ 的变形，在 $$x$$ 较小时非常准)

[3,2] 阶:

\ln x \approx \frac{6(x-1)(x+1)}{3(x+1)^2 - (x-1)^2} = \frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}

由图可知, $$ln(x)$$ 的[3,2]阶帕德逼近精度极高,几乎与原函数重合了. $g(x)=\frac{3(x^{2}-1)}{x^{2}+4x+1}$

x	ln x 近似值	推导过程 / 记忆点	备注
1	0.000	ln 1 = 0	基础定义
2	0.693	核心常数 (约 0.7)	必须熟记
3	1.099	核心常数 (约 1.1)	必须熟记
4	1.386	ln(2²) = 2 × ln 2 ≈ 2 × 0.693	2倍关系
5	1.609	ln(10/2) = ln 10 - ln 2 ≈ 2.303 - 0.693	补数关系
6	1.792	ln(2×3) = ln 2 + ln 3 ≈ 0.693 + 1.099	积的关系
7	1.946	约 1.95 (记忆：比 2 略小一点)	质数需单记
8	2.079	ln(2³) = 3 × ln 2 ≈ 3 × 0.693	3倍关系
9	2.197	ln(3²) = 2 × ln 3 ≈ 2 × 1.099	2倍关系
10	2.303	核心常数 (换底公式常用)	必须熟记

重点记住质数项

积/商性质： - $ln(ab) = ln a + ln b$
- $$ln(a/b) = ln a - ln b$$
线性近似 (微分修正)：
- 当 Δx 较小时： $$ln(x + Δx) \approx ln x + (Δx / x)$$
- 例子：估算 $$ln 2.1$$
  $$ln 2.1 \approx ln 2 + 0.1/2 = 0.693 + 0.05 = 0.743$$ (真值 0.7419)
换底转换：
- $$lg x \approx 0.4343 \cdot ln x$$
- $$ln x \approx 2.3026 \cdot lg x$$